Question

（本小题满分14分）

已知椭圆的左，右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．

（1）求曲线的方程；

（2）设、两点的横坐标分别为、，证明：；

（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

 

（1） 依题意可得，．

设双曲线的方程为，

因为双曲线的离心率为，所以，即．

所以双曲线的方程为．

（2）证法1：设点、（，，），直线的斜率为（），

则直线的方程为，

联立方程组 

整理，得，

解得或．所以．

同理可得，．

所以．

证法2：设点、（，，），

则，．

因为，所以，即．

因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，．

即，．

所以，即．

所以．

证法3：设点，直线的方程为，

联立方程组 

整理，得，

解得或．

将代入，得，即．

所以．

（3）解：设点、（，，），

则，．

因为，所以，即．

因为点在双曲线上，则，所以，即．

因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以．

因为，，

所以．

由（2）知，，即．

设，则，

．

设，则，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

因为，，

所以当，即时，．

当，即时，．

所以的取值范围为．

 

【解析】略