Question

（14分）已知椭圆的左、右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．

（1）求曲线的方程；

（2）设点、的横坐标分别为、，证明：；

（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求 的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）联立方程组，

整理，得，解得或．所以．同理可得，，所以．   （3）。

【解析】

试题分析：依题意可得，．…………………1分

设双曲线的方程为，

因为双曲线的离心率为，所以，即．

所以双曲线的方程为．…………………3分

（2）证法1：设点、（，，），直线的斜率为（），

则直线的方程为，…………………4分

联立方程组………………………5分

整理，得，

解得或．所以．…………………6分

同理可得，…………………………7分

所以．…………………………8分

证法2：设点、（，，），

则，．………………………………4分

因为，所以，即．………………5分

因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，．

即，．………………6分

所以，即．………………7分

所以．…………………………………8分

证法3：设点，直线的方程为，……………4分

联立方程组………………………5分

整理，得，

解得或．………………………6分

将代入，得，即．

所以．……………………………8分

（3）解：设点、（，，），

则，．

因为，所以，即．………9分

因为点在双曲线上，则，所以，即．

因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以．…………10分

因为，，

所以．………11分

由（2）知，，即．

设，则，

．

设，则，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

因为，，

所以当，即时，…………12分

当，即时，．…………………………13分

所以的取值范围为．…………………………………14分

说明：由，得，给1分．

考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质。

点评：在圆锥曲线中经常遇到求范围问题，这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找。对于解决这类问题通常有两种方法：①当题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义时，可考虑利用数形结合方法来求解或构造参数满足的不等式，通过不等式求得参数的范围；②当题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域。