Question

1．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（0，4）、B（-4，0），点C是x轴正半轴上的点，△ABC的面积是14，O到AC的距离是$\frac{12}{5}$，动点P从A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC运动，同时动点Q从C点出发以每秒2个单位的速度沿x轴的正方向运动．
（1）求点C的坐标；
（2）P在运动的过程中，当BP⊥AC时，设BP与AO交于H，求AH的长；
（3）t取何值时△CPQ是以PQ为底边的等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）通过设C（x，0），其中x＞0，利用S_△ABC=$\frac{1}{2}$|OA|•|BC|=14计算即得结论；
（2）通过（1）可知|AC|=5，通过当BP⊥AC时S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AC|•|BP|计算可知|BP|=$\frac{28}{5}$，利用勾股定理可知|AP|=$\frac{4}{5}$，利用$\frac{|AP|}{|AH|}$=cos∠OAC=$\frac{|OA|}{|AC|}$计算可知|AH|=1；
（3）通过当△CPQ是以PQ为底边的等腰三角形时|CP|=|CQ|，代入计算即得结论．

解答 解：（1）设C（x，0），其中x＞0，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$|OA|•|BC|=$\frac{1}{2}$×4×[x-（-4）]=2x+8=14，
解得：x=3，
故点C的坐标为（3，0）；
（2）由（1）可知|AC|=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
当BP⊥AC时，S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AC|•|BP|，
即14=$\frac{1}{2}×5×$|BP|，解得：|BP|=$\frac{28}{5}$，
∴|AP|=$\sqrt{|AB{|}^{2}-|BP{|}^{2}}$=$\sqrt{|OB{|}^{2}+|OA{|}^{2}-|BP{|}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}-（\frac{28}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
又∵$\frac{|AP|}{|AH|}$=cos∠HAP=cos∠OAC=$\frac{|OA|}{|AC|}$，即$\frac{\frac{4}{5}}{|AH|}$=$\frac{4}{5}$，
∴|AH|=1，
故AH的长为1；
（3）依题意，当△CPQ是以PQ为底边的等腰三角形时，
有|CP|=|CQ|，即3t-|AC|=2t，
∴3t-5=2t，解得：t=5，
故当t=5时△CPQ是以PQ为底边的等腰三角形．

点评 本题考查根据实际问题选择函数类型，考查数列结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．