Question

【题目】已知 ，不等式 成立.
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对于实数 满足 且不等式 恒成立，求 的最小值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令 ，则 ,
，由于 ,不等式 成立， .
（Ⅱ）当 时，不等式 恒成立等价于 恒成立，
由题意知 根据基本不等式有 ,
从而 （当且仅当 时等号成立）,
再由基本不等式 （当且仅当 时等号成立） 的最小值为 .
【解析】(1)根据题意去绝对值即可得到分段函数进而出满足 | x 1 | | x 2 | ≥ t 的t的取值范围。(2)由题意不等式 log3 m · log3 n ≥ t 恒成立等价于 log3 m · log3 n ≥ 1 恒成立结合基本不等式即可确定log3 m n ≥ 2，进而求出m n ≥ 9再根据基本不等式即可求出m + n 的最小值。