Question

【题目】设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在抛物线 上，已知以点 为圆心， 为半径的圆 交 于 两点.
（Ⅰ）若 ， 的面积为4，求抛物线 的方程；
（Ⅱ）若 三点在同一条直线 上，直线 与 平行，且 与抛物线 只有一个公共点，求直线 的方程.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由对称性知， 是等腰三角形.
∵ ，点 到准线的距离为 ，设准线与 轴交于点 ，
即 ， ，
∴ .
∴抛物线方程为 ；
（Ⅱ）由对称性不妨设 ，则 .
∵点 关于点 对称，
∴ 点的坐标为 .
∵ 点在准线上，
∴ .
∴ .
∴ 点坐标为 .
∴ .
又∵直线 与直线 平行，
∴ .
由已知直线 与抛物线相切，设切点为 ，
∴ .
∴ .
∴切点 .
∴直线 的方程为 ，即 .
由对称性可知，直线 有两条，分别为 ，
【解析】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、直线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．