Question

6．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=4${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n=1时，a₁=s₁=1，当n≥2时，${a}_{n}={s}_{n}-{s}_{n-1}=\frac{{n}^{2}+3n}{4}-\frac{（n-1）^{2}+3（n-1）}{4}$=$\frac{n+1}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${a}_{n}=\frac{n+1}{2}，{b}_{n}={2}^{n+1}$；$\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{3}}+…\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=s₁=1，
当n≥2时，${a}_{n}={s}_{n}-{s}_{n-1}=\frac{{n}^{2}+3n}{4}-\frac{（n-1）^{2}+3（n-1）}{4}$=$\frac{n+1}{2}$
经检验${a}_{1}也符合{a}_{n}=\frac{n+1}{2}$，∴${a}_{n}=\frac{n+1}{2}…（n∈{N}^{+}）$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${a}_{n}=\frac{n+1}{2}∴{b}_{n}={2}^{n+1}$；
$\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{3}}+…\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$

点评 本题考查了等比数列的通项及求和，及公式a_n=s_n-s_n-1的应用，属于基础题．