Question

17．已知圆C（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．有以下几个命题：
①直线l恒过定点（3，1）；        
②圆C被y轴截得的弦长为 4$\sqrt{6}$；
③直线 l与圆C恒相交；        
④直线 l被圆C截得最短弦长时，l方程为2x-y-5=0，
其中正确命题的是（　　）

• A． ②③
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 求出直线所过定点坐标，可判断①；求出圆被y轴截得的弦长，可判断②；分析直线所过定义与圆的位置关系，可判断③；求出满足条件的直线方程，可判断④．

解答 解：将l的方程整理为（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，

由x+y-4=0，且2x+y-7=0，
解得x=3，y=1，
则无论m为何值，直线l过定点D（3，1）．
故①正确；
令x=0，
则（y-2）²=24，
解得：y=2±2$\sqrt{6}$，
故圆C被y轴截得的弦长为 4$\sqrt{6}$；
故②正确；
因为（3-1）²+（1-2）²=5＜25，
则点D在圆C的内部，直线l与圆C相交．
故③正确
圆心C（1，2），半径为5，|CD|=$\sqrt{5}$，
当截得的弦长最小时，l⊥CD，由于k_CD=-$\frac{1}{2}$，
则l的斜率为2，此时直线的方程为：y-1=2（x-3），即2x-y-5=0，
故④正确；
故选：D

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了直线与圆的位置关系，难度中档．