Question

11．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是A₁A、A₁B₁的中点，求EF与平面A₁ACC₁所成的角．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF与平面A₁ACC₁所成的角的大小．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则E（2，0，1），F（2，1，2），A（2，0，0），C（0，2，0），A₁（2，0，2），
$\overrightarrow{EF}$=（0，1，1），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），
设平面A₁ACC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
设EF与平面A₁ACC₁所成的角为θ，
则sinθ=|$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°．
∴EF与平面A₁ACC₁所成的角为30°．

点评 本题考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．