Question

4．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且?x∈R，f（x+2）=-f（x）．当x∈[-2，0）时，f（x）=2^x，则f（2016）-f（2015）的值为（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{9}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 根据条件?x∈R，f（x+2）=-f（x），得到函数的周期是4，利用函数的奇偶性，将条件进行转化即可得到结论．

解答 解：∵?x∈R，f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），
∴函数f（x）的周期是4，
∴f（2015）=f（504×4-1）=f（-1），
∵当x∈[-2，0）时，f（x）=2^x，
∴f（-1）=$\frac{1}{2}$，∴f（2015）=f（-1）=$\frac{1}{2}$，
∵f（2016）=f（504×4）=f（0）=0，
∴f（2016）-f（2015）=-$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．