题目内容
12．设数列{an}满足a1=2，an+1=（1+sin$\frac{4nπ+π}{2}$）an．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn=anlog2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
分析 （1）由已知条件得{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，由此能求出{an}的通项公式；
（2）由bn=anlog2an=n•2n，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Tn．
解答 解：（1）∵an+1=（1+sin$\frac{4nπ+π}{2}$）an=2an，
又a1=2，
∴{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n；
（2）bn=anlog2an=n•2n，
∴Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①
2Tn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②
①-②，得：-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2n+1，
∴Tn=（n-1）•2n+1+2．
点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
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