Question

函数f（x）=3sinx+acosx-

a2+9

的零点为x₀，且tanx₀=2，则实数a的值为（　　）

• A．

  2

  3

• B．±

  2

  3

• C．±

  3

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：利用两角和的正弦函数化简函数的表达式，求出函数的一个零点，然后通过tanx₀=2，求出a的值．

解答：解：函数f（x）=3sinx+acosx-

a2+9

=

a2+9

sin（x+θ）-

a2+9

=

a2+9

（sin（x+θ）-1）．其中tanθ=

a

3

．
因为函数f（x）=3sinx+acosx-

a2+9

的零点为x₀，所以x₀+θ=

π

2

，
∵tanx₀=2，所以2=cotθ=

3

a

，
所以a=

3

2

．
故选D．

点评：本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数的应用，函数的零点的应用，考查计算能力转化思想的应用．