Question

设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a、b、c使得af（x）+bf（x-c）=1对任意实数x恒成立，则

bcosc

a

的值等于

 

．

Answer 1

分析：作为一个选择题，可以令C取特殊值来求值，作为一个解答题，需将af（x）+bf（x-c）=1用和差角公式进行变形，利用恒成立的意义转化成关于a，b，c的方程，解出a，b，c的值，进而求解．

解答：解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f（x）+f（x-c）=2，于是取a=b=

1

2

，c=π，
则对任意的x∈R，af（x）+bf（x-c）=1，由此得

bcosC

a

=-1．
一般地，由题设可得f（x）=

13

sin（x+∅）+1，f（x-c）=

13

sin（x+∅-c）+1，其中0＜∅＜

π

2

且tan∅=

2

3

，，
于是af（x）+bf（x-c）=1可化为

13

asin（x+∅）+

13

bsin（x+∅-c）+a+b=1，即

13

asin（x+∅）+

13

bsin（x+∅）cosC-

13

bcos（x+∅）sinC+a+b-1=0，
所以

13

（a+bcosC）sin（x+∅）-

13

sinCcos（x+∅）++a+b-1=0，
由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有

a+bcosC=0 bsinC=0 a+b-1=0

，
若b=0，则由（1）知a=0，显然不满足（3）式，故b≠0．所以，由（2）知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ（k∈Z）．当c=2kπ时，cosc=1，则（1）、（3）两式矛盾，故c=2kπ+π（k∈Z），cosc=-1．由（1）、（3）知a=b=

1

2

，所以

bcosC

a

=-1．

点评：本题考查三角函数和差角公式的运用与恒成立条件的转化．解题过程中对不确定的情况要善于分类讨论．