Question

3．已知函数f（x）=$\sqrt{x}$；
（1）求函数f（x）图象在x=1处切线l的方程；
（2）求由曲线y=$\sqrt{x}$，直线l及y轴围成图形的面积．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出交点坐标，根据定积分计算即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，f（1）=1，f′（1）=$\frac{1}{2}$，
故切线方程是：y-1=$\frac{1}{2}$（x-1），
即$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}（x+1）}\\{y=\sqrt{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
故直线l及y轴围成图形的面积：
S=${∫}_{0}^{1}$[（$\frac{1}{2}$（x+1）-$\sqrt{x}$]dx
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$x²+x+c）${|}_{0}^{1}$-$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$${|}_{0}^{1}$
=$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及定积分问题，是一道中档题．