Question

已知函数f（x）=

x-1

lnx

．
（Ⅰ）求证：当x＞1时，f（x）＞1；
（Ⅱ）令a_n+1=f（a_n），a₁=

e

，求证：2ⁿlna_n≥1．

Answer 1

考点：数学归纳法,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）令g（x）=lnx-x+1，求导数，证明x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即lnx-x+1＜0，即可证明当x＞1时，f（x）＞1；
（Ⅱ）用数学归纳法证明2ⁿlna_n≥1即可．

解答： 证明：（Ⅰ）令g（x）=lnx-x+1，则g′（x）=

1-x

x

当0＜x＜1时，g′（x）＞0，∴函数y=g（x）在0＜x＜1时为增函数，
∴0＜x＜1时，g（x）＜g（1）=0，即lnx-x+1＜0；
当x＞1时，g′（x）＜0，∴函数y=g（x）在x＞1时为减函数，
∴x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即lnx-x+1＜0，
则当x＞1时，0＜lnx＜x-1，∴

x-1

lnx

＞1，即f（x）＞1；                …（5分）
（Ⅱ）下面用数学归纳法证明2ⁿlna_n≥1
ⅰ）当n=1时，a₁=

e

，知2lna1=2ln

e

=1，∴n=1时，命题成立
ⅱ）假设n=k时，命题成立．即2^klna_k≥1
要证明n=k+1时，命题成立．即证明2^k+1lna_k+1≥1，只需证明a_k+1≥e

1

2k+1

依题意知a_k+1=

ak-1

lnak

，即证明：

ak-1

lnak

≥e

1

2k+1

f′（x）=

-ln 1 x + 1 x -1

(lnx)2

x＞1时，有0＜

1

x

＜1，由（Ⅰ）可知ln

1

x

-

1

x

+1＜0，
∴当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数x＞1时为增函数
由归纳假设2^klna_k≥1，即a_k≥e

1

2k

＞1，
∴f（a_k）≥f（e

1

2k

）=

e 1 2k -1

1 2k

…（1）
依题意知a_k+1=f（a_k），故又只需证明f（e

1

2k

）＞e

1

2k+1

，
构造函数h（x）=e^x-1-xe

x

2

，h′（x）=e

x

2

（e

x

2

-1-

x

2

）
e

x

2

＞1，由（Ⅰ）知lne

x

2

-e

x

2

+1＜0，即e

x

2

-1-

x

2

＞0，∴h′（x）＞0
∴函数y=h（x），x＞0为增函数，∴h（

1

2k

）＞h（0）=0，
则f（e

1

2k

）=

e 1 2k -1

1 2k

＞e

1

2k+1

 …（2），
由（1）（2）及题意知a_k+1≥e

1

2k+1

，即2^k+1lna_k+1≥1
综合（ⅰ）ⅱ）知，有2ⁿlna_n≥1成立．

点评：本题考查导数知识的运用，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用数学归纳法是关键．