Question

在等差数列{a_n}中，a₁+a₂=7，a₃=8．令b_n=

1

anan+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式和T_n；
（Ⅱ）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等差数列通项公式求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．由bn=

1

anan+1

=

1

3

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)，利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和为T_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，T1=

1

10

，Tm=

m

2(3m+2)

，Tn=

n

2(3n+2)

，假设存在正整数m、n，（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列，从而得到

m2

(3m+2)2

=

n

5(3n+2)

，由此能求出存在满足条件的正整数m、n，此时m=2，n=10．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
由

a1+a2=7 a3=8

，得

2a1+d=7 a1+2d=8

，
解得a₁=2，d=3，
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1，（3分）
∵bn=

1

anan+1

=

1

(3n-1)[3(n+1)-1]

=

1

(3n-1)(3n+2)

=

1

3

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)，
∴Tn=

1

3

(

1

2

-

1

5

+

1

5

-

1

8

+…+

1

3n-1

-

1

3n+2

)
=

1

3

(

1

2

-

1

3n+2

)
=

n

2(3n+2)

．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，T1=

1

10

，Tm=

m

2(3m+2)

，Tn=

n

2(3n+2)

，
假设存在正整数m、n，（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列，
则Tm2=T1•Tn，即[

m

2(3m+2)

]²=

1

10

×

n

2(3n+2)

，（2分）
经化简，得

m2

(3m+2)2

=

n

5(3n+2)

，
∴（3m+2）²n=15m²n+10m²，
∴（-3m²+6m+2）n=5m²，（*）（3分）
当m=2时，（*）式可化为2n=20，所以n=10，（5分）
当m≥3时，-3m²+6m+2=-3（m-1）²+5≤-7＜0，
又∵5m²＞0，∴（*）式可化为n=

5m2

-3m2+6m+2

＜0，
所以此时n无正整数解．（7分）
综上可知，存在满足条件的正整数m、n，此时m=2，n=10．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，注意裂项求和法的合理运用．