Question

19. 设a>0，求函数f（x）＝－ln（x+a）（x（0，+））的单调区间.

Answer 1

19.解：（x）=－（x>0）.                                

当a>0，x>0时

（x）>0x²+（2a－4）x+a²>0，

（x）<0x²+（2a－4）x+a²<0.

（ⅰ）当a>1时，对所有x>0，有

x²+（2a－4）x+a²>0，

即（x）>0，此时f（x）在（0，+）内单调递增.                

（ⅱ）当a=1时，对x≠1，有

x²+（2a－4）x+a²>0，

即（x）>0，此时f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+）内单调递增.

又知函数f（x）在x=1处连续，因此，函数f（x）在（0，+）内单调递增.  

（ⅲ）当0<a<1时，令（x）>0，即x²+（2a－4）x+a²>0，

解得x<2－a－2，或x>2－a+2.

因此，函数f（x）在区间（0，2－a－2）内单调递增，在区间

（2－a+2，+）内也单调递增.                                         

令（x）<0，即x²+（2a－4）x+a²<0，

解得2－a－2<x<2－a+2.

因此，函数f（x）在区间（2－a－2，2－a+2）内单调递减.