Question

已知函数f（x）=alnx-2ax+3（a≠0）．
（I）设a=-1，求函数f（x）的极值；
（II）在（I）的条件下，若函数g(x)=

1

3

x3+x2f′(x)+m]（其中f'（x）为f（x）的导数）在区间（1，3）上不是单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求函数的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＞0，得函数的单调增区间，解不等式f′（x）＜0得函数的单调减区间，最后由极值定义求得函数极值
（II）构造新函数g（x），把在区间（1，3）上不是单调函数，即函数g（x）的导函数在区间（1，3）不能恒为正或恒为负，从而转化为求导函数的函数值问题，利用导数列出不等式，最后解不等式求得实数m的取值范围

解答：解：（Ⅰ）当a=-1，f（x）=-lnx+2x+3（x＞0），f′(x)=

-1

x

+2，…（2分）
∴f（x）的单调递减区间为（0，

1

2

），单调递增区间为（

1

2

，+∞）    …（4分），
∴f（x）的极小值是f(

1

2

)=-ln

1

2

+2×

1

2

+3=ln2+4．…（6分）
（Ⅱ）g(x)=

1

3

x3+x2(-

1

x

+2+m)，g′（x）=x²+（4+2m）x-1，…（8分）
∴g（x）在区间（1，3）上不是单调函数，
且g′（0）=-1，
∴

g′(1)＜0 g′(3)＞0

 …（10分）
∴

4+2m＜0 20+6m＞0

 即：-

10

3

＜m＜-2．
故m的取值范围(-

10

3

，-2)…（12分）

点评：本题考查了函数的定义域、单调性、极值，以及导数在其中的应用，由不等式恒成立问题与最值问题求解参数的取值范围的方法