Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+3x+1．
（1）设a=

5

3

，求函数f（x）在[0，5]上的最大值和最小值；
（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定函数的单调性与极值，计算端点的函数值，即可得到结论；
（2）f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．

解答：解：（1）当a=

5

3

时f′（x）=3x²-10x-3=（x-3）（3x-1）
令f′（x）=0，得x=

1

3

或x=3．

x	0	（0， 1 3 ）	1 3	( 1 3 ，3)	3	（3，5）	5
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1?		40 27	?	-8	?	16

∴f（x）在[0，5]上的最大值为16，最小值为-8．
（2）∵f′（x）=3x²-6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x²-6ax+3=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．
∴由3x²-6ax+3=0可得a=

1

2

(x+

1

x

)，
令g(x)=

1

2

(x+

1

x

)，求导函数可得g′(x)=

1

2

(1-

1

x2

)
∴g（x）在（2，3）上单调递增，
∴

5

4

＜

1

2

(x+

1

x

)＜

5

3

，
∴

5

4

＜a＜

5

3

，此时满足△＞0，
故a的取值范围是

5

4

＜a＜

5

3

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f′（x）=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．