Question

已知，a∈R，函数f（x）=x|x-a|．
（1）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值；
（2）设a≠0，若函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围．（用a表示）

Answer 1

分析：（1）化简函数f（x）的解析式为-(x-

a

2

)2+

a2

4

，分

a

2

∈[1，2]、

a

2

＞2 两种情况，分别求出它的最小值．
（2）a≠0，f（x）=

x(x-a)  ，  x≥a x(a-x) ，  x＜a

，分a＞0和a＜0两种情况，分别画出函数f（x）的图象，结合图象，根据题中要求，分别求出m、n的取值范围．

解答：解：（1）∵a＞2，x∈[1，2]，∴f（x）=x|x-a|=-x²+ax=-(x-

a

2

)2+

a2

4

．
由于 4≥a＞2，即当

a

2

∈[1，2]时，则当 x=

a

2

 时，f_min（x）=

a2

4

．
当

a

2

＞2 时，即a＞4时，f（x）在∈[1，2]上是减函数，
当x=2时，f（x）有最小值为f_min（x）=-(2-

a

2

)2+

a2

4

=2a-4．
综上可得，f_min（x）=

a2 4  ，  4≥a＞2 2a-4 ，  a＞4

．
（2）a≠0，f（x）=

x(x-a)  ，  x≥a x(a-x) ，  x＜a

．
①当a＞0时，f（x）的图象如图1所示：显然函数f（x）在（-∞，a）上的最大值为f（

a

2

）=

a2

4

．
由

y= a2 4 y= x(x-a)

，解得x=

1+ 2

2

a．
由于函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，∴0≤m＜

a

2

，a＜n≤

1+ 2

2

a．
   图1  图2 
 
②当a＜0时，如图2所示：显然函数f（x）在（a，+∞）上的最小值为f（

a

2

）=-

a2

4

．
由

y=- a2 4 y= x(a-x)

 解得 x=

1- 2

2

a．

由于函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，故有

1- 2

2

a≤m＜a，

a

2

＜n≤0．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数图象和性质，二次函数的性质应用，体现了分类讨论和数形结合的数学思想，
属于中档题．