题目内容

将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a（ $数学公式$ ≤a≤1）的概率．

解：设第一段的长度为x，第二段的长度为y，第三段的长度为1-x-y，
则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω={（x，y）|0＜x＜1，0＜y＜1，0＜x+y＜1}，此区域面积为 $\text{[math]}$ ．
事件“三段的长度都不超过a（ $\text{[math]}$ ≤a≤1）”所对应的几何区域可表示为：
A={（x，y）|（x，y）∈Ω，x＜a，y＜a，1-x-y＜a}．
即图中六边形区域，此区域面积：
当 $\text{[math]}$ ≤a≤ $\text{[math]}$ 时，为（3a-1）²/2，
此时事件“三段的长度都不超过a（ $\text{[math]}$ ≤a≤1）”的概率为P= $\text{[math]}$ =（3a-1）²；
当 $\text{[math]}$ ≤a≤1时，为 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
此时事件“三段的长度都不超过a（ $\text{[math]}$ ≤a≤1）”的概率为P=1-3（1-a）²．
分析：先设木棒其中两段的长度分别为x、y，分别表示出木棒随机地折成3段的x，y的约束条件和3段构成三角形的约束条件，再画出约束条件表示的平面区域，利用面积测度即可求三段的长度都不超过a（ $\text{[math]}$ ≤a≤1）的概率．
点评：本题主要考查了几何概型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．