Question

已知向量a＝(cos ，sin )，b＝(－sin ，－cos )，其中x∈[，π]．
(1)若|a＋b|＝，求x的值；
(2)函数f(x)＝a·b＋|a＋b|²，若c>f(x)恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

（1）x＝或x＝   （2）(5，＋∞)

(1)∵a＋b＝(cos －sin ，sin －cos )，
∴|a＋b|＝＝，
由|a＋b|＝，得＝，即sin 2x＝－.
∵x∈[，π]，∴π≤2x≤2π.
因此2x＝π＋或2x＝2π－，即x＝或x＝.
(2)∵a·b＝－cos sin －sin cos ＝－sin 2x，
∴f(x)＝a·b＋|c＋b|²＝2－3sin 2x，
∵π≤2x≤2π，∴－1≤sin 2x≤0，
∴2≤f(x)＝2－3sin 2x≤5，∴[f(x)]_max＝5.
又c>f(x)恒成立，
因此c>[f(x)]_max，则c>5.
∴实数c的取值范围为(5，＋∞)．