Question

7．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（1，2），则该渐近线与圆（x+1）²+（y-2）²=4相交所得的弦长为$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 求出一条渐近线方程为2x-y=0，圆（x+1）²+（y-2）²=4的圆心坐标为（-1，2），半径为2，可得圆心到渐近线的距离，即可求出渐近线与圆（x+1）²+（y-2）²=4相交所得的弦长．

解答 解：由题意，一条渐近线方程为2x-y=0，
圆（x+1）²+（y-2）²=4的圆心坐标为（-1，2），半径为2，
∴圆心到渐近线的距离d=$\frac{|-2-2|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∴渐近线与圆（x+1）²+（y-2）²=4相交所得的弦长为2$\sqrt{4-\frac{16}{5}}$=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．
故答案为：$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题主要考查了双曲线、圆的简单性质．解题的关键是求得圆心到渐近线的距离．