Question

【题目】已知函数f（x）＝ex+ax2+bx（e为自然对数的底，a，b为常数），曲线y＝f（x）在x＝0处的切线经过点A（﹣1，﹣1）

（1）求实数b的值；

（2）是否存在实数a，使得曲线y＝f（x）所有切线的斜率都不小于2？若存在，求实数a的取值集合，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）b＝1；（2）存在，{}．

【解析】

（1）求出原函数的导函数，得到，再求出，由两点求斜率公式列式可得；

（2）记，曲线所有切线的斜率都不小于2等价于对任意的实数R恒成立，，求函数的导函数，分和分类求解的答案.

（1），

，

，又，

又曲线在处的切线经过点，

，

则；

（2）记，

曲线所有切线的斜率都不小于2等价于对任意的实数R恒成立，

，

当时，，单调递增，

∴当时，；

时不成立，

当时，由，得，

且时，，时，，

∴函数的极小值点为，又，

，得．

∴存在实数a，使得曲线y＝f（x）所有切线的斜率都不小于2，

则实数a的集合为{}．