Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，，，点在线段上，且．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）存在，线段的长.

【解析】

（Ⅰ）在四边形中,可以证明出，以为空间直角坐标系的原点，建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，利用，可以证明出；

（Ⅱ）求出平面的法向量、平面的法向量，利用空间向量的数量积求出向量夹角的余弦值的绝对值，利用同角三角函数关系式，求出二面角的正弦值；

（Ⅲ）设存在线段上存在点，使得，设的坐标，求出平面的法向量，利用与平面的法向量垂直，可以求出的坐标，进而求出线段的长.

（Ⅰ）在四边形中，，，，根据勾股定理，可求出,利用勾股定理的逆定理可知：，以为空间直角坐标系的原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

所以，因为，

所以，因此可求出坐标为,

因为,所以;

（Ⅱ）设平面的法向量为,,

，

设平面的法向量为,

，

设的夹角为，；

（Ⅲ）设存在线段上存在点，使得，

,设平面的法向量为,

,

,

因为,所以,

.