Question

【题目】在平面直角坐标系中，设向量， ，其中为的两个内角.

（1）若，求证： 为直角；

（2）若，求证： 为锐角.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）借助平面向量的坐标形式的数量积公式建立方程，然后运用诱导公式分析推证；（2）借助平面向量的坐标形式的数量积公式建立方程，即，也即然后运用两角和的正切公式分析推证，即：

（1）易得，

因为，所以，即.

因为，且函数在内是单调减函数，

所以，即为直角.

（2）因为，所以，

即.

因为是三角形内角，所以，

于是，因而中恰有一个是钝角，∴，

从而，

所以，即证为锐角

注：（2）解得后，得与异号，

若，

则

于是，在中，有两个钝角和，这与三角形内角和定理矛盾，不可能

于是必有，即证为锐角