Question

9．已知函数f（x）=x²+ax-1nx（a∈R，a为常数）．
（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x₀，y₀），求x₀的值；
（2）当a=-1时，若方程f（x）=$\frac{b}{x}$有实根，求b的最小值；
（3）设 F（x）=f（x）e^-x，若F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，代入原点，可得所求值；
（2）求出f（x）的导数，求得单调区间和极值、最值，可得f（x）≥0，又b=xf（x）≥0，进而得到b的最小值；
（3）求出F（x）的导数，设h（x）=-x²+（2-a）x+a-$\frac{1}{x}$+lnx，对a讨论，运用单调性和函数的零点存在定理，即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=2x+a-$\frac{1}{x}$，
即有切线的斜率为2x₀+a-$\frac{1}{{x}_{0}}$，
切线的方程为y-x₀²+ax₀-1nx₀=（2x₀+a-$\frac{1}{{x}_{0}}$）（x-x₀），
代入原点，化简可得x₀²+1nx₀=1，
函数u（x）=x²+lnx在（0，+∞）递增，且u（1）=1，
解得x₀=1；
（2）f（x）的导数为f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）（2x+1）}{x}$，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=1处取得极小值，也为最小值0，
即f（x）≥0，又b=xf（x）≥0，
即有b的最小值为0；
（3）F（x）=f（x）e^-x的导数为
F′（x）=[-x²+（2-a）x+a-$\frac{1}{x}$+lnx]•e^-x，
设h（x）=-x²+（2-a）x+a-$\frac{1}{x}$+lnx，则
h′（x）=-2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+2-a，
①当2-a≥0即a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在（　　），1]递增，
h（1）=0，h（x）＜0在（0，1]恒成立，即F′（x）≤0在（0，1]恒成立，
则有F（x）在（0，1]递减，a≤2满足题意；
②当2-a＜0，即a＞2时，
设函数h′（x）的唯一零点为x₀，则h（x）在（0，x₀）递增，
在（x₀，1）递减，h（1）=0，则h（x₀）＞0，则F（x）在（x₀，1）递增，
又h（e^-a）＜0，
则F（x）在（0，e^-a）递减，与F（x）在（0，1]单调矛盾，则a＞2不合题意．
综上可得，a≤2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查函数方程的转化思想和函数单调性的运用，以及分类讨论的思想方法，属于中档题．