题目内容

已知定点A（-1，0）和B（1，0），P是圆（x-3）2+（y-4）2=4上的一动点，求|
PA
|2+|
PB
|2的最大值和最小值．
分析：先根据A，B的坐标分别表示出
OA
和
OB
，进而可求得
OA
+
OB
和
OA
•
OB
的值，进而根据中点公式求得
PA
+
PB
=2
PO
，进而求得|
PA
|2+|
PB
|2的表达式，同时根据点P在圆上求得
OC
和
OP
，进而根据|
OC
|-|
CP
|≤|
OP
|=|
OC
+
CP
|≤|
OC
|+|
CP
|求得
OP
的范围，进而求得|
PA
|2+|
PB
|2的最大值和最小值
解答：精英家教网解：设已知圆的圆心为C，由已知可得
OA
=(-1，0)，
OB
=(1，0)，
∴
OA
+
OB
=0，
OA
•
OB
=-1，又由中点公式得
PA
+
PB
=2
PO
，
所以|
PA
|2+|
PB
|2=(
PA
+
PB
)2-2
PA
•
PB
=(2
PO
)2-2(
OA
-
OP
)•(
OB
-
OP
)=4|
PO
|2-2
OA
•
OB
-2|
OP
|2+2
OP
•(
OA
+
OB
)=2|
OP
|2+2，
又因为
OC
=(3，4)点P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上，
所以|
OC
|=5，|
CP
|=2，且
OP
=
OC
+
CP
，
所以|
OC
|-|
CP
|≤|
OP
|=|
OC
+
CP
|≤|
OC
|+|
CP
|，
即3≤|
OP
|≤7，故20≤|
PA
|2+|
PB
|2=2|
OP
|2+2≤100，
所以|PA|2+|PB|2的最大值为100，最小值为20．
点评：本题主要考查了圆的方程的综合运用和向量的基本计算．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
练习册系列答案
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精英家教网如图，已知定点A（1，0），定圆C：（x+1）2+y2=8，M为圆C上的一个动点，点P在线段AM上，点N在线段CM上，且满足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，则点N的轨迹方程是
 
．
已知函数f(x)=
ax
x+b
，且f（1）=1，f（-2）=4．
（1）求a、b的值；
（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜-1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；
（3）当x∈[1，2]时，不等式f(x)≤
2m
(x+1)|x-m|
恒成立，求实数m的取值范围．
已知定点A（1，0）和定直线x=-1上的两个动点E、F，满足
AE
⊥
AF
，动点P满足
EP
∥
OA
，
FO
∥
OP
（其中O为坐标原点）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点B（0，2）的直线l与（1）中轨迹C相交于两个不同的点M、N，若
AM
•
AN
＜0，求直线l的斜率的取值范围．
已知定点A（1，0），定直线l：x=5，动点M（x，y）
（Ⅰ）若M到点A的距离与M到直线l的距离之比为
5
5
，试求M的轨迹曲线C1的方程．
（Ⅱ）若曲线C2是以C1的焦点为顶点，且以C1的顶点为焦点，试求曲线C2的方程．
已知定点A（1，0）和定圆B：x2+y2+2x-15=0，动圆P和定圆B相切并过A点，
（1）求动圆P的圆心P的轨迹C的方程．
（2）设Q是轨迹C上任意一点，求∠AQB的最大值．

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