Question

设F为抛物线C：y²=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．

解答： 解：由y²=3x，得2p=3，p=

3

2

，
则F（

3

4

，0）．
∴过A，B的直线方程为y=

3

3

（x-

3

4

），
即x=

3

y+

3

4

．
联立

y2=3x x= 3 y+ 3 4

，得4y²-12

3

y-9=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=3

3

，y₁y₂=-

9

4

．
∴S_△OAB=S_△OAF+S_△OFB=

1

2

×

3

4

|y₁-y₂|
=

3

8

(y1+y2)2-4y1y2

=

3

8

×

(3 3 )2+9

=

9

4

．
故答案为：

9

4

．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．