Question

求同时满足下列两个条件的复数Z；
（1）Z+

10

Z

是实数，且1＜Z+

10

Z

≤6；
（2）且Z的实部和虚部均为整数，且虚部不为零．

Answer 1

考点：复数的代数表示法及其几何意义,复数代数形式的乘除运算

专题：数系的扩充和复数

分析：设Z=a+bi（a，b∈R），可得Z+

10

Z

=a+

10

a2+b2

a+(b-

10b

a2+b2

)i，由于Z+

10

Z

是实数，且1＜Z+

10

Z

≤6；且Z的实部和虚部均为整数，且虚部不为零．可得b-

10b

a2+b2

=0，1＜a+

10a

a2+b2

≤6，b≠0，a，b∈Z．解出即可．

解答： 解：设Z=a+bi（a，b∈R），则Z+

10

Z

=a+bi+

10

a+bi

=a+bi+

10(a-bi)

(a+bi)(a-bi)

=a+

10

a2+b2

a+(b-

10b

a2+b2

)i，
∵Z+

10

Z

是实数，且1＜Z+

10

Z

≤6；且Z的实部和虚部均为整数，且虚部不为零．
∴b-

10b

a2+b2

=0，1＜a+

10a

a2+b2

≤6，b≠0，a，b∈Z．
解得

a=1 b=±3

或

a=3 b=±1

．
∴Z=1±3i或Z=3±i．

点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了计算能力与推理能力，属于基础题．