Question

【题目】已知函数.

（1）若在，处取得极值.

①求、的值；

②若存在，使得不等式成立，求的最小值；

（2）当时，若在上是单调函数，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】试题分析：（1）①先求 ，根据函数在处取得极值，则，代入可求得的值；

②转化为，从而求函数在区间上的最小值，从而求得的值；

（2）当时，，①当时，符合题意；

②当时，分讨论在上正负，以确定函数的单调性的条件，进而求出的取值范围．

试题解析：

（1）①∵，∴，

∵在，处取得极值，∴，，

即解得，∴所求、的值分别为.
②在存在，使得不等式成立，只需，由，∴当时，，故在是单调递减；当时，，故在是单调递增；当时，，故在是单调递减；∴是在上的极小值，，且，又，∴，∴，∴，∴的取值范围为，所以的最小值为.
（2）当时，，
①当时，，则在上单调递增；
②当时，∵，∴，∴，则在上单调递增；
③当时，设，只需，从而得，此时在上单调递减；
综上得，的取值范围是