Question

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如图所示，且甲学生的平均分为85分．
（Ⅰ）观察茎叶图，求图中的x
（Ⅱ）若要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理
由；
（Ⅲ）若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据计算平均数的公式可得答案．
（Ⅱ）根据有关公式可得

.

x甲

=

.

x乙

，s_甲²＜s_乙²，所以甲的成绩较稳定，因此派甲参赛比较合适．
（Ⅲ） 记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，则P(A)=

6

8

=

3

4

，随机变量ξ 的可能取值为0、1、2、3，由题意可得ξ服从二项分布，即ξ～B(3，

3

4

)，进而根据公式即可得到分布列与期望．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：

.

x甲

=

93+95+81+82+80+x+88+78+79

8

=85，
所以解得x=4 …3分
（Ⅱ）派甲参赛比较合适．
因为

.

x甲

=85，

.

x乙

=

90+92+95+80+80+83+85+75

8

=85，
所以s_甲²=35.5，s_乙²=41，
∴ 

.

x甲

=

.

x乙

，s_甲²＜s_乙²，
∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． …7分
（Ⅲ） 记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，
则P(A)=

6

8

=

3

4

．
随机变量ξ 的可能取值为0、1、2、3，且ξ～B(3，

3

4

)．
∴P(ξ=k)=

C

k 3

(

3

4

)k(

1

4

)3-k，k=0，1，2，3．
所以变量ξ 的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 64	9 64	27 64	27 64

Eξ=0×

1

64

+1×

9

64

+2×

27

64

+3×

27

64

=

9

4

．（或Eξ=nP=3×

3

4

=

9

4

） …12分

点评：本题主要考查茎叶图、标准差与等可能事件的概率，以及离散型随机变量的分布列与期望．