Question

（2012•焦作模拟）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由；
（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由题设条件先作出茎叶图，再求学生乙成绩中位数．
（2）先分别求出

.

x甲

，

.

x乙

，S甲2，S乙2，由

.

x甲

=

.

x乙

，

S

甲

2＜S乙2，得到甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．
（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，则P（A）=

6

8

=

3

4

，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ服从B（3，

3

4

），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）茎叶图如下：…（2分）
学生乙成绩中位数为84，…（4分）
（2）派甲参加比较合适，理由如下：

.

x甲

=

1

8

(70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3)=85，

.

x乙

=

1

8

(70×1+80×4+90×3+5+3+5+3+5)=85，…（5分）
S甲2=

1

8

[(78-85)2+(79-85)2+(80-85)2+（83-85）²+（85-85）²+（90-85）²
+（92-85）²+（95-85）²]=35.5
S乙2=

1

8

[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+（83-85）²+（85-85）²+（90-85）²
+（92-85）²+（95-85）²]=41，…（7分）
∵

.

x甲

=

.

x乙

，

S

甲

2＜S乙2，
∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．…（8分）
（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，
则P（A）=

6

8

=

3

4

，…（9分）
随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，
且ξ服从B（3，

3

4

），∴P（ξ=k）=

C

1 3

(

3

4

)3•(1-

3

4

)3-k，k=0，1，2，3，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 64	9 64	27 64	27 64

∴Eξ=np=3×

3

4

=

9

4

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．