Question

【题目】已知F为抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，直线l：y=kx+ 交抛物线E于A，B两点．
（Ⅰ）当k=1，|AB|=8时，求抛物线E的方程；
（Ⅱ）过点A，B作抛物线E的切线l1 ， l2 ， 且l1 ， l2交点为P，若直线PF与直线l斜率之和为﹣ ，求直线l的斜率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）联立 ，消去x得 ， 题设得 ，
∴p=2，
∴抛物线E的方程为x2=4y．
（II）设
联立 ，消去y得x2﹣2pkx﹣p2=0，
∴ ，
由 得 ，
∴直线l1 ， l2的方程分别为 ，
联立 得点P的坐标为 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴直线l的斜率为k=﹣2或
【解析】（Ⅰ）根据弦长公式即可求出p的值，问题得以解决，（Ⅱ）联立方程组，根据韦达定理，即可求出过点A，B作抛物线E的切线l1 ， l2方程，再求出交点坐标，根据斜率的关系即可求出k的值．