Question

【题目】已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A.[ ，1]
B.[﹣ ，1]
C.[1，3]
D.（﹣∞，1]

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，
∴不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）等价为2f（x3﹣x2+a）≥2f（1）
即f（x3﹣x2+a）≥f（1）对x∈[0，1]恒成立，
即﹣1≤x3﹣x2+a≤1对x∈[0，1]恒成立，
即﹣1﹣a≤x3﹣x2≤1﹣a对x∈[0，1]恒成立，
设g（x）=x3﹣x2 ， 则g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），
则g（x）在[0， ）上递减，在（ ，1]上递增，
∵g（0）=g（1）=0，g（ ）=﹣ ，
∴g（x）∈[﹣ ，0]，
即 即 ，得﹣ ≤a≤1，
故选：B．
【考点精析】解答此题的关键在于理解奇偶性与单调性的综合的相关知识，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．