Question

9．设曲线y=$\sqrt{x}$有一点P（x₁，y₁），与曲线切于点P的切线为m，若直线n过P且与m垂直，则称n为曲线在点P处的法线，设n交x轴于点Q，又作PR⊥x轴于R，则RQ的长为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 求出曲线对应函数的导数，可得切线的斜率和法线的斜率，运用点斜式方程可得法线方程，可令y=0，求得Q的坐标，计算即可得到所求长．

解答 解：y=$\sqrt{x}$的导数为y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
可得切线的斜率为$\frac{1}{2\sqrt{{x}_{1}}}$，法线的斜率为-2$\sqrt{{x}_{1}}$，
即有直线n的方程为y-$\sqrt{{x}_{1}}$=-2$\sqrt{{x}_{1}}$（x-x₁），
令y=0，可得x=x₁+$\frac{1}{2}$，即Q（x₁+$\frac{1}{2}$，0），又R（x₁，0），
则|QR|=$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查直线方程的运用，属于基础题．