Question

14．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：
（1）B₁D₁∥平面A₁BD；
（2）平面A₁C₁CA⊥平面A₁BD．

Answer 1

分析 （1）由B₁B$\stackrel{∥}{=}$D₁D得出四边形BB₁D₁D是平行四边形，于是BD∥B₁D₁，从而得出B₁D₁∥平面A₁BD；
（2）由A₁A⊥平面ABCD得出A₁A⊥BD，由正方形的性质得出AC⊥BD，故而BD⊥平面AA₁C₁C，从而得出平面A₁C₁CA⊥平面A₁BD．

解答 证明：（1）∵BB₁∥DD₁，BB₁=DD₁，
∴四边形BB₁D₁D是平行四边形，
∴BD∥B₁D₁，又BD?平面A₁BD，B₁D₁?平面A₁BD，
∴B₁D₁∥平面A₁BD．
（2）∵A₁A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴A₁A⊥BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又A₁A?平面AA₁C₁C，AC?平面AA₁C₁C，AA₁∩AC=A，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，又BD?平面A₁BD，
∴平面A₁C₁CA⊥平面A₁BD．

点评 本题考查了正方体的结构特征，线面平面，面面垂直的判定，属于基础题．