Question

13．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，则
（1）f（1）=0；
（2）若方程f（x）=m在[3，7]上有4个实根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄=20．

Answer 1

分析 （1）在所给的等式中，令x=-1，可得f（1）的值．
（2）由条件画出f（x）的单调性的示意图，根据这4个实根x₁，x₂，x₃，x₄，关于直线x=5对称，求得x₁+x₂+x₃+x₄的值．

解答 解：（1）令x=-1，可得f（1）=f（-1）+f（1），
f（1）=0．
（2）由（1）可得f（x+2）=f（x），故函数的最小
正周期为2．
由于当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，
故f（x）在[-1，0]上单调递增．
画出f（x）的单调性的示意图：
观察发现，这4个实根x₁，x₂，x₃，x₄，关于直线x=5对称，
则x₁+x₂+x₃+x₄=20，
故答案为：0；20．

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性、以及图象的对称性的应用，属于基础题．