题目内容
19．已知过双曲线：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦点F2作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线的左支于点A，且AF1⊥AF2，则双曲线的离心率是$\sqrt{5}$．分析 设切点为M，连接OM，运用切线的性质，以及中位线定理，可得AF1=2a，由双曲线的定义，可得AF2=2a+AF1=4a，再由勾股定理，可得c2=5a2，由离心率公式即可得到所求值．
解答 
解：设切点为M，连接OM，
可得OM⊥AF2，
AF1⊥AF2，可得AF1∥OM，
且OM=a，AF1=2a，
由双曲线的定义，可得AF2=2a+AF1=4a，
在直角三角形AF1F2中，
AF12+AF22=F1F22，
即为4a2+16a2=4c2，
即有c2=5a2，
可得离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．
点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用直线和圆相切的条件和中位线定理、勾股定理，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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10．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2倾斜角为$\frac{π}{6}$的直线与双曲线的左支交于M点，且满足（$\overrightarrow{{F}_{1}M}$+$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，则双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\sqrt{5}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | $\sqrt{3}$+1 | D． | $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ |
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，对角线AC，BD交于点O，OA=4，OB=3，OP=4，OP⊥底面ABCD，设点M满足$\overrightarrow{PM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{MC}$．
14．
如图，一块长宽分别为30M、40M的矩形草地，其中间及四角是半径为10M的圆和扇形花圃，随意向草地浇水，则浇在花圃中的概率为（ ）
如图，一块长宽分别为30M、40M的矩形草地，其中间及四角是半径为10M的圆和扇形花圃，随意向草地浇水，则浇在花圃中的概率为（ ）| A． | $\frac{π}{12}$ | B． | $1-\frac{π}{6}$ | C． | $\frac{π}{6}$ | D． | $1-\frac{π}{12}$ |
4．若集合M={x|y=loga（1-x2）}，N={y|y=x2+1，x∈R}，则∁R（M∪N）（ ）
| A． | （-∞，-1] | B． | （-1，+∞） | C． | （-1，1） | D． | [1，+∞） |
11．设$\overrightarrow a=（1\;，\;2）\;，\;\overrightarrow b=（1\;，\;1）$，$\overrightarrow c=\overrightarrow a+k\overrightarrow b$，若$\overrightarrow b⊥\overrightarrow c$，则实数k=（ ）
| A． | $-\frac{3}{2}$ | B． | $-\frac{5}{3}$ | C． | $\frac{5}{3}$ | D． | $\frac{3}{2}$ |