题目内容

已知 $数学公式$ =（x，0）， $数学公式$ =（1，y），（ $数学公式$ + $数学公式$ $数学公式$ ）⊥（ $数学公式$ - $数学公式$ $数学公式$ ）（1）点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=3x+m（m≠0）与曲线C交于A，B两点，D（0，-1）且 $数学公式$ ，试求m的值．

解：（1）由已知 $\text{[math]}$ （2分）
即x²=3+3y²，所以P的轨迹方程为 $\text{[math]}$ （5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点E坐标为（x₀，y₀）．
$\text{[math]}$ ，消去y得：26x²+18mx+3m²+3=0
由韦达定理得： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，（8分）
则AB垂直平分线方程为 $\text{[math]}$ ，
又点D（-1，0）在AB的垂直平分线上，代入方程得 $\text{[math]}$ （11分）
（注：也可由DE的斜率为- $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，解得m= $\text{[math]}$ ）
由△＞0，得m²＞26
所以 $\text{[math]}$ 时，直线l：y=3x+m，m≠0与双曲线C相交，符合题意，
所以 $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（1）由已知x²=3+3y²，由此能得到P的轨迹方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点E坐标为（x₀，y₀）. $\text{[math]}$ ，消去y得：26x²+18mx+3m²+3=0
由韦达定理和根的判别式能够求出m的值．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．