Question

已知-

π

2

＜x＜0，sinx+cosx=

1

5

．
（1）求sinx-cosx的值；
（2）求

2sinx•cosx+2sin2x

1-tanx

的值．

Answer 1

分析：（1）由-

π

2

＜x＜0可知x是第四象限角，从而sinx＜0，cosx＞0，由此可知sinx-cosx＜0．再利用平方关系式求解．（sinx-cosx）²=（sinx+cosx）²-4sinxcosx．
（2）由（1）求出tanx，sinx，cosx代入分式即可得到答案．

解答：解：（1）∵-

π

2

＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，则sinx-cosx＜0，
又sinx+cosx=

1

5

，平方后得到 1+sin2x=

1

25

，
∴sin2x=-

24

25

∴（sinx-cosx ）²=1-sin2x=

49

25

，
又∵sinx-cosx＜0，
∴sinx-cosx=-

7

5

．
（2）由（1）可得sinx=-

3

5

，cosx=

4

5

，tanx=-

3

4

，
代入分子分母中，原分式可化为：

2sinx•cosx+2sin2x

1-tanx

=

2×(- 3 5 )× 4 5 +2×(- 3 5 )2

1+ 3 4

=-

24

175

点评：本题利用公式（sinx-cosx）²=（sinx+cosx）²-4sinxcosx．求解时需要开方，一定要注意正负号的取法，注意角x的范围．