Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，且（n≥2），．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（1）因为，
所以，即，
所以是等差数列，因为a₁=2，a₂=1，
所以该数列首项为，公差也是，
所以，所以．
（2）由（1）知，
所以b_n=n•2^n-1，
∴S_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1
则2S_n=4+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
相减得S_n=n•2ⁿ-（1+2+2²+2³+…+2^n-1）=（n-1）2ⁿ+1
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1（n∈N^*）．
分析：（1）根据，变形可得，从而有是等差数列，根据等差数列的通项公式求出，从而得出数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的通项公式，利用错位相减法，可得数列{b_n}的前n项和S_n．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，正确运用错位相减法是关键．