Question

【题目】已知，其中是自然常数，

(1)当时，求的单调性和极值；

(2)若恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）减区间是， 增区间是 ， 的极小值为， 无极大值；（2）.

【解析】试题分析：（1）当时， ，求出，在定义域内解不等式， ，即可得到单调区间，由单调性即可得到极值；（2）恒成立，即恒成立，问题转化为求函数的最大值，利用导数研究函数的单调性即可求得.

试题解析：(1) ，

∴当时， ，此时为单调递减；

当时， ，此时为单调递增.

∴当的极小值为， 无极大值.

（2）法一：∵，

∴在上恒成立，

即在上恒成立，

令， ，

∴

令，则，

当时， ，此时为单调递增，

当时， ，此时为单调递减，

∴，

∴.

法二：由条件： 在上恒成立

令， ， ，

时， 恒成立，∴在上递减，

∴；

由条件知∴ 与矛盾.

时，令，∴

当时， ，此时为单调递增，

当时， ，此时为单调递减，

，

∴

即.