Question

【题目】已知函数，实数为常数）．

（1）若，且函数在上的最小值为0，求的值；

（2）若对于任意的实数，函数在区间上总是减函数，对每个给定的，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）先求导，求函数在已知区间上的极值，注意极值点是否在定义域内，进行分类讨论，确定最小值，列出关于的方程即可得结果；（2）函数在区间上单调递减，转化为导函数小于等于0恒成立，再转化为二次函数根的分布问题.

试题解析：（1）当时， ．

则．

令，得（舍），．

①当>1时，

	1
		-	0	+
		↘		↗

∴当时, ．

令，得．

②当时， ≥0在上恒成立，

在上为增函数，当时, ．

令，得（舍）．

综上所述，所求为．

(2) ∵对于任意的实数， ， 在区间上总是减函数，

则对于x∈(1,3)， ＜0，

∴在区间[1,3]上恒成立．

设g(x)= ，∵，∴g(x) 在区间[1,3]上恒成立．

由g(x)二次项系数为正，得

即 亦即

∵ =，

∴ 当n＜6时，m≤，当n≥6时，m≤，

∴ 当n＜6时，h(n)= ，当n≥6时，h(n)= ，

即