题目内容
设a，b，c∈R+，且abc=1，求证：
．
【答案】分析：设a=x3，b=y3，c=z3，x，y，z∈R+，则xyz=1，可得1+a+b=xyz+x3+y3，进而可得
≤
，同理，
，
，三式相加，可得结论．
解答：证明：设a=x3，b=y3，c=z3，x，y，z∈R+，则xyz=1，
∴1+a+b=xyz+x3+y3，
∵x3+y3-（x2y+xy2）=（x-y）2（x+y）≥0
∴x3+y3≥x2y+xy2
∴1+a+b≥xyz+x2y+xy2=xy（x+y+z）
∴
≤
=
同理
，
三式相加，可得：
．
点评：本题考查不等式的证明，考查构造法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
≤
，同理，
，
，三式相加，可得结论．解答：证明：设a=x3，b=y3，c=z3，x，y，z∈R+，则xyz=1，
∴1+a+b=xyz+x3+y3，
∵x3+y3-（x2y+xy2）=（x-y）2（x+y）≥0
∴x3+y3≥x2y+xy2
∴1+a+b≥xyz+x2y+xy2=xy（x+y+z）
∴
≤
=
同理
，
三式相加，可得：
．点评：本题考查不等式的证明，考查构造法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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