Question

10．设集合A的元素都是正整数，满足：①A的元素个数不小于3；②若a∈A，b∈A，1＜a＜b，则1+ab∈A．③若a∈A，则a的所有因子都属于A．回答下面的问题：
（1）证明：1，2，3，4，5，均为A中元素；
（2）问：2011是否属于A．

Answer 1

分析 （1）根据已知中集合A的元素都是正整数，满足：①A的元素个数不小于3；②若a∈A，b∈A，1＜a＜b，则1+ab∈A．③若a∈A，则a的所有因子都属于A．逐一分析1，2，3，4，5与集合A的关系，可得结论；
（2）根据已知中集合A的元素都是正整数，满足：①A的元素个数不小于3；②若a∈A，b∈A，1＜a＜b，则1+ab∈A．③若a∈A，则a的所有因子都属于A．分析2011与集合A的关系，可得结论．

解答 证明：（1）1是任何正整数的因子，
故由③得：1∈A，
若a为偶数，则2是a的因子，此时2∈A，
若a，b均为大于1的奇数，则1+ab为偶数，则2是1+ab的因子，此时2∈A，
综上2∈A，
若a是3的倍数，则3是a的因子，此时3∈A，
若a，b均为大于1的不是3的倍数的数，则1+ab∈A或1+a（1+ab）∈A且为3的倍数，此时3∈A，
综上3∈A，
由2∈A，则由②得：1+2×2=5∈A；
由3∈A，5∈A，则由②得：1+3×5=16∈A，
则由③得：16的因子4∈A；
（2）由3∈A，4∈A，5∈A，则1+3×3=10∈A，
1+3×4=13∈A，
1+3×13=40∈A，
1+5×40=201∈A，
1+201×10=2011∈A．

点评 本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，正确理解集合A所满足的3个条件，是解答的关键．