Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，且经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2） 以椭圆的长轴为直径作圆，设为圆上不在坐标轴上的任意一点，为轴上一点，过圆心作直线的垂线交椭圆右准线于点．问：直线能否与圆总相切，如果能，求出点的坐标；如果不能，说明理由．

 

Answer 1

(1) ；（2）能，点.

【解析】

试题分析：（1）求椭圆方程，一般要找到两个条件，本题中有离心率为，即，另外椭圆过点，说明，这样结论易求；（2）存在性命题，问题假设存在，设，再设，首先有，，，于是，写出直线方程为，让它与椭圆右准线相交，求得，与圆相切，则有，即，这是关于的恒等式，由此利用恒等式的知识可求得，说明存在，若求不出，说明假设错误，不存在.

（1）设椭圆方程为，因为经过点，所以，，

又因为，可令，所以，，即，

所以椭圆的标准方程为． 6分

（2）存在点 7分

设点，，因为在以椭圆的长轴为直径作圆上，且不在坐标轴上的任意点，

所以 且，又因为，

由，所以，，所以直线的方程为， 10分

因为点在直线上，令，得，

即， 12分

所以，

又，与圆总相切，故，于是有，

，即恒成立，解之可得，

即存在这样点，使得与圆总相切． 16分

考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆、圆的综合性问题.