Question

10．已知A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），P是直线上一点，$\frac{AP}{PB}$=2，则P点坐标为（$\frac{{x}_{1}+{2x}_{2}}{3}$，$\frac{{y}_{1}+{2y}_{2}}{3}$）或（2x₂-x₁，2y₂-y₁）．

Answer 1

分析 设出点P的坐标，表示出向量$\overrightarrow{AP}$和$\overrightarrow{PB}$，利用P是直线AB上一点，$\frac{AP}{PB}$=2，
得出$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，或$\overrightarrow{AP}$=-2$\overrightarrow{BP}$；由此列出方程组求出点P的坐标．

解答 解：设点P（x，y），则$\overrightarrow{AP}$=（x-x₁，y-y₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-x，y₂-y）；
由P是直线AB上一点，且$\frac{AP}{PB}$=2，
所以$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，或$\overrightarrow{AP}$=-2$\overrightarrow{BP}$，如图所示；

当$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$时，$\left\{\begin{array}{l}{x{-x}_{1}=2{（x}_{2}-x）}\\{y{-y}_{1}=2{（y}_{2}-y）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{2x}_{2}}{3}}\\{y=\frac{{y}_{1}+{2y}_{2}}{3}}\end{array}\right.$，所以P（$\frac{{x}_{1}+{2x}_{2}}{3}$，$\frac{{y}_{1}+{2y}_{2}}{3}$）；
当$\overrightarrow{AP}$=-2$\overrightarrow{BP}$时，$\left\{\begin{array}{l}{x{-x}_{1}=-2{（x}_{2}-x）}\\{y{-y}_{1}=-2{（y}_{2}-y）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x={2x}_{2}{-x}_{1}}\\{y={2y}_{2}{-y}_{1}}\end{array}\right.$，所以P（2x₂-x₁，2y₂-y₁）；
综上，P点坐标为（$\frac{{x}_{1}+{2x}_{2}}{3}$，$\frac{{y}_{1}+{2y}_{2}}{3}$）或（2x₂-x₁，2y₂-y₁）．
故答案为：（$\frac{{x}_{1}+{2x}_{2}}{3}$，$\frac{{y}_{1}+{2y}_{2}}{3}$）或（2x₂-x₁，2y₂-y₁）．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算与方程组的应用问题，是基础题目．