Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A（2，0），一条渐近线为y=

1

2

x，过点B（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P，Q．
（I）求双曲线的方程及k的取值范围；
（II）是否存在常数k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题意，a=2，一条渐近线为y=

1

2

x，可得b的值，从而可得双曲线的方程；设出直线方程代入双曲线方程，利用根的判别式，即可求k的取值范围；
（II）用坐标表示向量，利用向量的数量积为0，建立方程，即可得到结论．

解答：解：（I）由题意，a=2，

b

a

=

1

2

，∴b=1
∴双曲线的方程为

x2

4

-y2=1
设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线方程，可得（4k²-1）x²+16kx+20=0
∵过点B（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P，Q
∴4k²-1≠0且△=256k²-80（4k²-1）＞0，即k2≠

1

4

且k2＜

5

4

解得-

5

2

＜k＜

5

2

且k≠±

1

2

；
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-16k

4k2-1

，
∵

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，y₁+y₂），

AB

=（-2，2），

OP

+

OQ

与

AB

垂直
∴-2（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）=0
∴（x₁+x₂）（k-1）+4=0
∴

-16k(k-1)

4k2-1

+4=0
∴k=

1

4

∴存在常数k=

1

4

，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

垂直．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．