Question

【题目】已知抛物线，过点的动直线与相交于两点，抛物线在点和点处的切线相交于点.

（Ⅰ）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：点在直线上；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， （Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据标准方程可以直接写出抛物线的焦点坐标和准线方程，注意焦点在轴上.（Ⅱ）又为两条切线的交点，故可以求出两条切线方程（它们与切点的横坐标有关），联立它们可以得到的坐标.最后利用动直线过定点可以得到两个切点横坐标的关系，从而得到的纵坐标为定值.

解析：（Ⅰ）解：焦点坐标为，准线方程为.

（Ⅱ）证明：由题意，知直线的斜率存在，故设的方程为 ，由方程组，得.由题意得 .设，则.又，所以抛物线在点 处的切线的斜率为 ，抛物线在点处的切线方程为，化简得 ， ①.同理，抛物线在点处的切线方程为 ②，联立方程①②，得即，因为，所以，代入①，得，所以点，即

所以点在直线上.