题目内容
【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若点
在曲线上，点
在曲线上，求
的最小值及此时点的坐标.
【答案】（1）
；
（2）最小值为
，此时
【解析】
（1）消去曲线
参数方程的参数，求得曲线的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线
的直角坐标方程.
（2）设出
的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得
的最小值及此时点的坐标.
（1）消去
得，曲线的普通方程是：；
把
，
代入得，曲线的直角坐标方程是
（2）设
，的最小值就是点到直线的最小距离.
设
在
时，
，
是最小值，
此时
，
所以，所求最小值为，此时
【题目】某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了
人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：
满意 | 不满意 | |
男 |
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女 |
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是否有
的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？
若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了
人发放价值
元的购物券．若在获得了元购物券的人中随机抽取
人赠其纪念品，求获得纪念品的人中仅有
人是女顾客的概率．
附表及公式：
．
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【题目】为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从
两地分别随机抽取了
天的观测数据，得到两地区的空气质量指数（AQI），绘制如图频率分布直方图：
根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：
空气质量指数（AQI） |
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空气质量状况 | 优良 | 轻中度污染 | 中度污染 |
（1）试根据样本数据估计
地区当年（
天）的空气质量状况“优良”的天数；
（2）若分别在两地区上述天中，且空气质量指数均不小于
的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.
【题目】随着科技的发展，网购已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在某市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查，并从参与调查的市民中随机抽取了男、女各100人进行分析，得到如下所示的统计表.
经常网购 | 偶尔网购或不网购 | 合计 | |
男性 | 50 | 100 | |
女性 | 70 | 100 | |
合计 |
附:
，其中
.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该市市民的网购情况与性别无关.
（2）①现从所抽取的100位女性市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；
②将频率视为概率，从该市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差.